同濟大學第五版高數

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1、二、高階導數的求法舉例二、高階導數的求法舉例第三節一、高階導數的定義一、高階導數的定義高階導數 第二章 一、高階導數的定義問題問題:變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva.)()()(tftvta定義定義.)()(,)()(lim)(,)()(0處的二階導數處的二階導數在點在點為函數為函數則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數的導數如果函數如果函數xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導導數數

2、的的函函數數階階導導數數的的導導數數稱稱為為的的函函數數一一般般地地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數的導數稱為四階導數三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數.)(;)(,稱稱為為一一階階導導數數稱稱為為零零階階導導數數相相應應地地xfxf.,),(33dxydyxf 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數,.,),(44)4()4(dxydyxf二、高階導數求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)

3、1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2 1.1.直接法直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導數的定義逐步求高階導數.例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn則則為自然數為自然數若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求設設 解解注意注意:xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()

4、1(1)(nxnynnn 求求n階導數時階導數時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結果的規律性分析結果的規律性,寫出寫出n階導數階導數.(數學歸納法證明數學歸納法證明)例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數數設設 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(

5、22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab 例例6.設,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在._n2又0 x,24x0 x,12x階數2.高階導數的運算法則高階導數的運算法則:則則階階

6、導導數數具具有有和和設設函函數數,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式例例7 7.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3

7、.3.間接法間接法:常用高階導數公式常用高階導數公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高階導數公式利用已知的高階導數公式,通過四則通過四則1)(!)1()1(nnnxnx運算運算,變量代換等方法變量代換等方法,求出求出n階導數階導數.例例8 8.,11)5(2yxy求求設設 解解)1111(21112 xxxy)1(!5)1(!52166)5(xxy)1(1)1(16066 xx例例

8、9 9.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)(nxynn0!2)1()1(nynn)(nyn例例10.設,arctanxy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用萊布尼茲公式求 n 階導數)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12

9、(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(y得)0(!)2()1()0()12(ymymm三、小結高階導數的定義及物理意義高階導數的定義及物理意義;高階導數的運算法則高階導數的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數的求法階導數的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.思考題思考題設設 連續，且連續，且 ，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考題解答思考題解答)(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一

10、定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)(afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 思考與練習思考與練習xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(!1)(nxnynn1.如何求下列函數的 n 階導數?xxy11)1(xxy1)2(3解解:解解:2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示提示:令)2(xA原式2x)1(xB原式1x11xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx422

11、4coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:第四節一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 三、相關變化率三、相關變化率 隱函數和參數方程求導 相關變化率 第二章 一、隱函數的導數一、隱函數的導數定義定義:.)(稱稱為為隱隱函函數數由由方方程程所所確確定定的的函函數數xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數數xfy 0),(yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不

12、易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導導數數所所確確定定的的隱隱函函數數求求由由方方程程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲

13、線線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.例例3 3.)1,0(,144處處的的值值在在點點求求設設yyxyx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求求導導得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxy

14、二、對數求導法觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.-對數求導法對數求導法適用范圍適用范圍:.)()(的情形的情形數數多個函數相乘和冪指函多個函數相乘和冪指函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設例例5 5解解.),0

15、(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 例例6：)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxax

16、bbaxlnlnlnxbalnlnaxb例例7：)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny對 x 求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x三、由參數方程所確定的函數的導數三、由參數方程所確定的函數的導數.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數問題問題:消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求

17、導?t),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都都可可導導再再設設函函數數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二階可導二階可導若函數若函數 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例8 8解解dtdxdtdydxdy ttcos1si

18、n taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12(axay)22(axy即即例例9 9解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發射炮彈發射炮彈發射角發射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方

19、向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 例例1010解解.sincos33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdy

20、dxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4?例例11.設)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty例例12 設由方程)10(1sin 222yytttx確定函數,)(xyy 求.ddxy解解:方程組兩邊對 t 求導,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd 三、相關變化率

21、三、相關變化率)(,)(tyytxx為兩可導函數yx,之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對 t 求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率.,)()(變化率稱為相關變化率變化率稱為相關變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數都是可導函數及及設設dtdydtdxyxtyytxx 相關變化率問題相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?

22、例例1313解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設氣球上升設氣球上升,ht500tanh 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時時當當h)/(14.0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1414解解?,20,120,4000,/803水水面

23、面每每小小時時上上升升幾幾米米米米時時問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水庫內水量為水庫內水量為水深為水深為設時刻設時刻),(),(tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/288003小小時時米米 dtdV小小時時米米/104.0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米時時當當 h試求當容器內水Rhxhr例例15 有一底半徑為 R cm,高為 h cm 的圓錐容器,今以 自頂部向容器內注水,scm253位等于錐高的一

24、半時水面上升的速度.解解:設時刻 t 容器內水面高度為 x,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR兩邊對 t 求導tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2時當hx hxhRr故txdd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx體積為 V,則R五、小結隱函數求導法則隱函數求導法則:直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導;對數求導法對數求導法:對方程兩邊取對數對方程兩邊取對數,按隱函數的求按隱函數的求導法則求導導法則求導;參數方程求導參數方程求導:實質上是利用復合函數求導法則實質上是利用復合函數求導法則;相關變化率相關變化率:通過函數關系確定兩個相互依賴的通過函數關系確定兩個相互依賴的變化率變化率;解法解法:通過建立兩者之間的關系通過建立兩者之間的關系,用鏈用鏈式求導法求解式求導法求解.