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1、三角形四邊形有關的證明計算 一、證明題典例精講分為三大塊： 1圓的基本性質，2與圓有關的位置關系，3與圓有關的計算圓的基本性質 圓的基本性質在近七年河北中考中，除了年未考查外，每年設置12道題，題型包括選擇題，填空題，解答題。本節常務的知識點有：（1）垂徑定理及其推論；(2)圓周角定理及其推論（一）圓的基本性質 一、選擇題例題精講1. (龍東中考)如圖，O的半徑是2，AB是O的弦，點P是弦AB上的動點，且1OP2，則弦AB所對的圓周角的度數是( )A60 B120 C60或120 D30或150【答案】C【解析】當點P位于AB的中點時，如圖，由垂徑定理可得OPAB，此時OP最短，1OP2，OP
2、1；當點P位于點A或點B時，OPOAOB2，sinOABsinOBA，OABOBA30，AOB120，AEBAOB60，EF180，F120，即弦AB所對的圓周角的度數為60或120故選C2. （河北中考）如圖，AC，BE是O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是（ ）AABE BACF CABD DADE【答案】B【解析】因為A，B，E 三點在O上，所以O是ABE的外接圓圓心；由于F不在O上，所以O不是ACF的外接圓的圓心；因為A，B，D三點在O上，所以O是ABD的外接圓圓心；因為A，D，E三點在O上，所以O是ADE的外接圓圓心故選B針對性訓練1.在O中，圓心O到弦AB
3、的距離為AB長度的一半，則弦AB所對圓心角的大小為（）A30 B45 C60 D902. 如圖，將O 沿弦AB 折疊，圓弧恰好經過圓心O，點P 是優弧AMB上一點，則APB 的度數為（ ）A45 B30 C75 D60 3. 如圖，ABD的三個頂點在O上，AB是直徑，點C在O上，且ABD=52，則BCD等于( )A.32B.38C.52D.664. 點O是ABC 的外心，若BOC80，則BAC的度數為( ). A.40 B.100 C.40或140 D.40或1005.如圖，四邊形ABCD內接于O，已知ADC=140，則AOC的大小是（ ）A80 B100 C60 D40【答案】1-5 DDB
4、CA二、填空題例題精講1.（ 河北中考）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，若AB=8，CD=6，則BE=_.【答案】【解析】連接OC，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，CE=3，,BE=.故答案為.2.（婁底中考）如圖，在O中，AB為直徑，CD為弦，已知ACD=40，則BAD=_度.【答案】50【解析】由圓周角定理知B=ACD=40，又由AB為O的直徑，知ADB=90，根據直角三角形兩銳角互余，求得BAD=9040=50，故答案為50.針對性訓練1.如圖，在O中，OAB45，圓心O到弦AB的距離OE2 cm,則弦AB的長為cm2. 如圖，AB是O的直徑，點C是O上的一點，若BC6，AB1
5、0，ODBC于點D，則OD的長為_3.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點在半圓上，點，的讀數分別為100，150 ，則的大小為_度.4.如圖，O的內接四邊形ABCD中，A115，則BOD 【答案】14，分別為4，4，25，130，三、解答題例題精講1. （河南中考）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD，PO.（1）求證：CDPPOB；（2）填空：若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為 ；連接OD，當PBA的度數為 時，四邊形BPDO為菱形.證明：(1)O，P，D分別為AB，BC，AC的中點，D
6、POB，且DP=OB，CDOP，且CD=OP.CPD=PBO.在CDP和POB中，所以CDPPOB（SAS） .解：(2) 4 60.提示：D，P，O分別為AC，BC，AB的中點，DPAO，POAD，四邊形AOPD為平行四邊形，如圖，過點P作PGAB，垂足為G，當PG取最大值時，平行四邊形AOPD為正方形，=4；若四邊形BPDO為菱形，則BP=OB=2，OP=OB，OPB為等邊三角形，當PBA=60時，四邊形BPDO為菱形.2. （2016咸寧中考）定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形理解：（1）如圖1，已知A，B，C在格點（小正方形
7、的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是O的直徑，ACBD求證：四邊形ABCD是對等四邊形；（3）如圖3，在RtPBC中，PCB90，BC11，tanPBC，點A在BP邊上，且AB13用圓規在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長解：（1）如圖1所示（畫2個即可，答案不唯一）證明：（2）如圖2，連接AC，BDAB是O的直徑，ADBACB90在RtADB和RtACB中， ，RtADBRtBCAADBC又AB是O的直徑，ABCD四邊形ABCD是對等四邊形解：（3）如圖3，點D的位
8、置如圖所示.若CDAB，此時點D在D1的位置，CD1AB13；若ADBC11，此時點D在D2，D3的位置，AD2AD3BC11，過點A分別作AEBC，AFPC，垂足為E，F，設BEx，tanPBC，AE在RtABE中，AE2BE2AB2，即，解得x15，x2=5（舍去）BE5，AE12CEBCBE6由四邊形AECF為矩形，可得AFCE6，CFAE12，在RtAFD2中，綜上所述，CD的長度為13，或針對性訓練1.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。?）用直尺和圓規作出所在圓的圓心O；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）（4分）（2）若的中點C到弦AB的距離為m，AB=80m，求所在圓的半徑（4分）2.
9、 如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點EF是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作O，交邊DC于D，G兩點，AD分別與EF，GF交于I，H兩點（1）求FDE的度數；（2）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結論；（3）當G為線段DC的中點時，求證：DF=FI；設AC=2m，BD=2n，求O的面積與菱形ABCD的面積之比答案1.解：（1）如圖1，圖1點O為所求.（2）連接OA，AB，OC交AB于D，如圖2，C為的中點，OCAB，AD=BD=AB=40，設O的半徑為r，則OA=r，OD=OCCD=r20，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，r2=(r20)2+402，解
10、得r=50，即所在圓的半徑是50m圖22.解：（1）EF為O的直徑，FDE=90（2）四邊形FACD為平行四邊形理由如下：四邊形ABCD為菱形， ABCD，ACBD， AEB=90又FDE=90，ACFD四邊形FACD為平行四邊形（3）如圖，連接GE在RtDEC中，G為CD的中點，EG=DG， =，1=2又EF為O的直徑，FGE=90，FGEGG為DC的中點，E為AC的中點，GE為DAC的中位線，EGADFGAD，FHD=FHI=90由DHFIHF，可得FD=FI菱形ABCD，AE=CE=m，BE=DE=n，四邊形FACD為平行四邊形，FD=AC=2m=FIFDAC，3=8又3=4=7，7=8EI=EA=m在RtFDE中，FE=FD+DE，（3m）=（2m）+n，解得n=m=m，=2m2n=2mn=2m：=m：2m=
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